数学著作。三卷,共列有二十门,二百五十九问,元朱世杰撰。

　　朱世杰,字汉卿,号松庭。元代初期(13世纪)燕山(今北京附近人)。其生平事迹,不见于史籍,生卒年月不详,只能根据一些不多的史料,推断其大略。《四元玉鉴》莫若序称:“燕山松庭朱先生,以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众,先生遂发明《九章》之妙,以淑后学。为书三卷,……,名曰《四元玉鉴》”。祖颐于后序称:“汉卿名世杰,松庭其自号也。周流四方,复游广陵,踵门而学者云集”。这两篇序言都是写成于元成宗大德七年(1303),以此逆推,朱世杰的数学研究和数学教育活动时期当是元代初期。

　　在宋末、元初时期,一些北方数学家创立了天元术,从而推广为二元术、三元术,基于此,朱世杰进一步创造出四元术。一些南方数学家则走向通俗化、歌诀化的道路。朱世杰则兼容南、北两方之长,而独树一帜。在他的两部著作《四元玉鉴》及《算学启蒙》中,既有北方数学家所创造的天元术,又表现有南方的特色通俗化及歌诀化的形式。正如罗士琳所说:“汉卿在宋、元间,与秦道古、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方,仁卿天元如积,皆足上下千古,汉卿又兼包众有,充类尽量,神而明之,尤超越乎秦、李之上”。

　　《算学启蒙》分为上、中、下三卷,在卷上之前,列有“算学启蒙总括”共十八条。这十八条总括,就是一些预备知识,其中包括有九九歌诀、归除歌诀、斤秤歌诀、大数及小数的进位制、圆周率、正负数四则算法等。可见,为了便于入门,在正文之前,胪列预备知识,几成为宋元数学著作的一大特色。

　　《算学启蒙》三卷二十门,其卷上共八门,有“纵横因法门”、“身外加法门”、“异乘同除门”、“折变互差门”等,卷中共七门,有“田亩形段门”、“仓囤积粟门”、“商功修筑门”、“贵贱反率门”等,卷下五门,即“支分齐同门”、“堆积还元门”、“盈不足术门”、“方程正负门”、“开方释锁门”。在卷上一百一十三问中,主要论证各种计算方法及数字的计算技巧,其中一些数据还反映了元代的社会现象。卷中七十一问中,多计算田亩面积、土方体积、粮仓容积以及配分比例。卷下七十五问中,涉及分数计算、垛积计算、线性方程组及解方程的算法。《算学启蒙》里,有问,有答,有术,有的门下配有诗歌,有的问中配有图形,有的术里配有注文。从形式看,此书的编排比较活泼;从内容看,此书涉及当时数学的各个分支,比较全面。清人罗士琳在《算学启蒙后记》称:“是书匪特与《玉鉴》堪为表里,且可与宋已前诸古算书互相参核,以校今法之异同,似浅实深”。可见,此书在一定程度上反映了当时的学术水平。

　　《算学启蒙》一书不仅在国内流传,也东传到朝鲜和日本。清代此书已不传,罗士琳于道光年间在北京琉璃厂书肆购得朝鲜重刻本,并于道光十九年(1839)在扬州重刻出版。

　　《算学启蒙》除有道光扬州刻本外,尚有光绪八年(1882)本,光绪二十一年(1895)本,江南制造局刻本,中西算学丛刻本,万有文库本等。

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